Problema 1024

Una empresa utiliza 4 horas de trabajo de electrónica y 2 horas de trabajo de montaje por cada televisor LED que fabrica, y 3 horas de trabajo de electrónica y 1 hora de trabajo de montaje por cada televisor QLED. La empresa dispone de un máximo de 2400 horas de trabajo de electrónica y un máximo de 1000 horas de trabajo de montaje. Para satisfacer la demanda, la empresa debe fabricar al menos 200 televisores QLED. El beneficio obtenido en cada televisor LED es de 70 € y en cada televisor QLED es de 50 €.
Utilizar técnicas de programación lineal para determinar el número de televisores de cada tipo que la empresa debe fabricar para que el beneficio sea máximo, así como ese beneficio máximo.


Solución:

Sea x el número de televisores LED e y el número de televisores QLED que se fabrican. En la siguiente tabla recogemos las horas de trabajo de electrónica y montaje que cada tipo de televisor precisa:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&\text{LED}&\text{QLED}\\\hline\text{Electr\'onica}&4&3\\\hline\text{Montaje}&2&1\\\hline\end{array}

La empresa dispone de un máximo de 2400 horas de trabajo de electrónica:

4x+3y\leq2400

y un máximo de 1000 horas de trabajo de montaje:

2x+y\leq1000

La empresa debe fabricar al menos 200 televisores QLED:

y\geq200

Junto con las restricciones de positividad formamos el siguiente sistema de restricciones:

\left\{\begin{array}{l}4x+3y\leq2400\\2x+y\leq1000\\y\geq200\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos:

p1024

La región sombreada es la región factible. Calculamos los vértices de la región factible:

\begin{array}{ll}A:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=200\end{array}\right.&\rightarrow A=(0,200)\\\\B:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\4x+3y=2400\end{array}\right.&\rightarrow B=(0,800)\\\\C:~\left\{\begin{array}{l}2x+y=1000\\4x+3y=2400\end{array}\right.&\rightarrow C=(300,400)\\\\D:~\left\{\begin{array}{l}2x+y=1000\\y=200\end{array}\right.&\rightarrow D=(400,200)\end{array}

Nos piden maximizar beneficios. La función beneficios es:

f(x,y)=70x+50y

Evaluamos la función beneficios en cada vértice:

A\rightarrow f(0,200)=70\cdot0+50\cdot200=10000\\\\B\rightarrow f(0,800)=40000\\\\C\rightarrow f(300,400)=41000\\\\D\rightarrow f(400,200)=38000

El máximo beneficio se obtiene en el vértice C. El máximo beneficio es de 41.000 € fabricando 300 televisores LED y 400 televisores QLED.

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