Problema 1025

Dada la función:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^2-3x+2&\text{si}&x\leq3\\3x-2m&\text{si}&x>3\end{array}\right.

a) Hallar el valor de m para que la función sea continua en todos los números reales.
b) Para m=-1, calcular el área limitada por la gráfica de la función f y el eje OX en el intervalo [5,7].


Solución:

a) Las funciones parciales de f son polinómicas y por tanto continuas en sus respectivos dominios. Estudiamos la continuidad de f en x=3:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow3^+}3x-2m=9-2m\\\bullet~\lim_{x\rightarrow3^-}x^2-3x+2=2\\\bullet~f(3)=3^2-3\cdot3+2=2

Para que f sea continua en x=3 ha de ser:

9-2m=2~;\\\\2m=7~;\\\\\boxed{m=\dfrac72}


b) En el intervalo dado y para el valor m=-1, tenemos la función y=3x+2, cuya gráfica es una recta creciente de pendiente 3 y que pasa por el punto (0,2).
El área S limitada por la gráfica de f y el eje OX es:

\displaystyle S=\int_5^73x+2~dx=\left[\dfrac{3x^2}2+2x\right]_5^7=\\\\=\left(\dfrac{3\cdot7^2}2+2\cdot7\right)-\left(\dfrac{3\cdot5^2}2+2\cdot5\right)=\\\\=\dfrac{175}2-\dfrac{95}2=\boxed{40\text{ u.a.}}

CyL-MCCSS-O-20-P3

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