Problema 1026

La temperatura adecuada para el desarrollo vegetativo en el cultivo de tomates no debe exceder los 23 grados Celsius (ºC) y en ningún caso debe bajar de 7ºC. La siguiente función expresa la temperatura, en grados Celsius, el día 14 de agosto en una zona de cultivo:

T(x)=\dfrac{-1}{14}x^2+2x+10

donde x\in[0,24] es la hora del día.

a) Determinar a qué hora de ese día se alcanza la temperatura máxima y si ésta supera los 23ºC.
b) ¿La zona de cultivo tuvo una temperatura inferior a los 7ºC el 14 de agosto?


Solución:

a) El máximo de una función es un punto crítico. Calculamos los puntos críticos de la función T:

T'(x)=\dfrac{-2}{14}x+2=\dfrac{-1}7x+2~;\\\\\dfrac{-1}7x+2=0~;\\\\x=14

Aplicamos el test de la derivada segunda para comprobar que este punto crítico es un máximo:

T''(x)=\dfrac{-1}7~;\\\\T''(14)=\dfrac{-1}7<0

Luego, según el test, T alcanza un máximo a las 14 horas. Calculamos qué temperatura se alcanza a esa hora:

T(14)=\dfrac{-1}{14}\cdot14^2+2\cdot14+10=-14+28+10=24

A las 14 horas se alcanza una temperatura de 24ºC, luego se superan los 23ºC.


b) Veamos en qué momento la temperatura fue de 7ºC:

\dfrac{-1}{14}x^2+2x+10=7~;\\\\\dfrac{-1}{14}x^2+2x+3=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=-1,427 y x=29.427, luego, dado que el dominio es [0,24] y dado que T es una función continua en dicho intervalo, la temperatura en ningún momento es inferior a 7ºC.

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