Problema 1027

El 30 % de los clientes de un banco especializado en microcréditos son hombres y el 70 % son mujeres. Se sabe que el 20 % de los hombres recibieron un crédito inferior a 6000 € mientras que el 72 % de las mujeres recibieron un crédito igual o superior a dicha cantidad.

a) Elegido uno de los clientes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que éste haya recibido un crédito inferior a 6000 €?
b) Elegido al azar un cliente entre los que recibieron un crédito inferior a 6000 €, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?


Solución:

Sea H el suceso “ser hombre”, sea M el suceso “ser mujer”, sea I el suceso “recibir un crédito inferior a 6000€” y sea S el suceso “recibir un crédito igual o superior a 6000€”.
En el enunciado nos dan las probabilidades:

\bullet~P[H]=0.3\\\bullet~P[M]=0.7\\\bullet~P[I/H]=0.2\\\bullet~P[S/M]=0.72

Con todos estos datos podemos completar el siguiente diagrama de árbol:

p1027

a) Elegido un cliente al azar, la probabilidad de que este cliente haya recibido un crédito inferior a 6000€ es P[I]:

P[I]=P[H]\cdot P[I/H]+P[M]\cdot P[I/M]=\\\\=0.3\cdot0.2+0.7\cdot0.28=\boxed{0.256}


b) Sabiendo que el cliente ha recibido un crédito inferior a 6000€, la probabilidad de que el cliente sea mujer es P[M/I]. Para su cálculo utilizamos el teorema de Bayes:

P[M/I]=\dfrac{P[M]\cdot P[I/M]}{P[I]}=\dfrac{0.7\cdot0.28}{0.256}=\boxed{0.766}

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