El 30 % de los clientes de un banco especializado en microcréditos son hombres y el 70 % son mujeres. Se sabe que el 20 % de los hombres recibieron un crédito inferior a 6000 € mientras que el 72 % de las mujeres recibieron un crédito igual o superior a dicha cantidad.
a) Elegido uno de los clientes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que éste haya recibido un crédito inferior a 6000 €?
b) Elegido al azar un cliente entre los que recibieron un crédito inferior a 6000 €, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
Solución:
Sea H el suceso “ser hombre”, sea M el suceso “ser mujer”, sea I el suceso “recibir un crédito inferior a 6000€” y sea S el suceso “recibir un crédito igual o superior a 6000€”.
En el enunciado nos dan las probabilidades:
![\bullet~P[H]=0.3\\\bullet~P[M]=0.7\\\bullet~P[I/H]=0.2\\\bullet~P[S/M]=0.72](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbullet%7EP%5BH%5D%3D0.3%5C%5C%5Cbullet%7EP%5BM%5D%3D0.7%5C%5C%5Cbullet%7EP%5BI%2FH%5D%3D0.2%5C%5C%5Cbullet%7EP%5BS%2FM%5D%3D0.72&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\bullet~P[H]=0.3\\\bullet~P[M]=0.7\\\bullet~P[I/H]=0.2\\\bullet~P[S/M]=0.72")
Con todos estos datos podemos completar el siguiente diagrama de árbol:
a) Elegido un cliente al azar, la probabilidad de que este cliente haya recibido un crédito inferior a 6000€ es ![P[I]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BI%5D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[I]")
![P[I]=P[H]\cdot P[I/H]+P[M]\cdot P[I/M]=\\\\=0.3\cdot0.2+0.7\cdot0.28=\boxed{0.256}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BI%5D%3DP%5BH%5D%5Ccdot+P%5BI%2FH%5D%2BP%5BM%5D%5Ccdot+P%5BI%2FM%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3D0.3%5Ccdot0.2%2B0.7%5Ccdot0.28%3D%5Cboxed%7B0.256%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[I]=P[H]\cdot P[I/H]+P[M]\cdot P[I/M]=\\\\=0.3\cdot0.2+0.7\cdot0.28=\boxed{0.256}")
b) Sabiendo que el cliente ha recibido un crédito inferior a 6000€, la probabilidad de que el cliente sea mujer es ![P[M/I]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BM%2FI%5D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[M/I]")
![P[M/I]=\dfrac{P[M]\cdot P[I/M]}{P[I]}=\dfrac{0.7\cdot0.28}{0.256}=\boxed{0.766}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BM%2FI%5D%3D%5Cdfrac%7BP%5BM%5D%5Ccdot+P%5BI%2FM%5D%7D%7BP%5BI%5D%7D%3D%5Cdfrac%7B0.7%5Ccdot0.28%7D%7B0.256%7D%3D%5Cboxed%7B0.766%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[M/I]=\dfrac{P[M]\cdot P[I/M]}{P[I]}=\dfrac{0.7\cdot0.28}{0.256}=\boxed{0.766}")
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