Problema 1032

Los trabajadores de un taller artesano elaboran collares y pulseras de bisutería. En la elaboración de un collar se tardan 2 horas, mientras que se emplea 1 hora en la elaboración de una pulsera. Los materiales de los que disponen les permiten fabricar como mucho 50 piezas (entre collares y pulseras) y el tiempo dedicado a su elaboración no puede exceder de 80 horas. Sabiendo que obtienen un beneficio de 5 euros por la venta de un collar y de 4 euros por la venta de una pulsera, utiliza técnicas de programación lineal para calcular el número de collares y pulseras que tienen que elaborar para que su beneficio sea máximo. ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo?


Solución:

Sea x el número de collares e y el número de pulseras a fabricar.

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&\text{Collar}&\text{Pulsera}\\\hline\text{Horas}&2&1\\\hline\end{array}

Se pueden fabricar como mucho 50 piezas:

x+y\leq50

El tiempo dedicado a su elaboración no puede exceder las 80 horas:

2x+y\leq80

Agrupamos estas restricciones junto con las restricciones de positividad en el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x+y\leq50\\2x+y\leq80\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

A partir de las restricciones escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos:

\left\{\begin{array}{l}x+y=50\\2x+y=80\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p1032

La región sombreada es la región factible que verifica todas las restricciones. Calculamos los vértices de la región factible:

\begin{array}{ll}A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow A=(0,0)\\\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\x+y=50\end{array}\right.&\rightarrow B=(0,50)\\\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}2x+y=80\\x+y=50\end{array}\right.&\rightarrow C=(30,20)\\\\D\rightarrow\left\{\begin{array}{l}2x+y=80\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow D=(40,0)\end{array}

Sabiendo que obtienen un beneficio de 5 euros por la venta de un collar y de 4 euros por la venta de una pulsera, se define la función beneficio:

f(x,y)=5x+4y

Evaluamos la función beneficio en cada vértice de la región factible:

A\rightarrow f(0,0)=5\cdot0+4\cdot0=0\\\\B\rightarrow f(0,50)=200\\\\C\rightarrow f(30,20)=230\\\\D\rightarrow f(40,0)=200

El máximo beneficio de 230 euros se obtiene en el vértice C, fabricando 30 collares y 20 pulseras.

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