Problema 1033

Se considera la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}4-x&\text{si}&x<4\\x^2-16&\text{si}&x\geq4\end{array}\right.

a) Estudia razonadamente la continuidad de f.
b) Analiza el crecimiento y decrecimiento de f.


Solución:

a) Las funciones parciales son polinómicas y son continuas en sus intervalos de definición, queda estudiar la continuidad de f en x=4:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow4^+}x^2-16=0\\\bullet~\lim_{x\rightarrow4^-}4-x=0\\\bullet~f(4)=4^2-16=0

Por lo que f es también continua en x=4.


b) Calculamos los puntos críticos de f:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-1&\text{si}&x<4\\2x&\text{si}&x>4\end{array}\right.

\bullet~-1=0~!!!\\\bullet~2x=0\rightarrow x=0<4~!!!

f no tiene puntos críticos. Estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,4)&(4,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f decrece en (-\infty,4).
  • f crece en (4,+\infty).

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