Problema 1036

Se considera el sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro a:

\left\{\begin{array}{rl}x+3y+z&=1\\3x+y+(a-1)z&=3\\x+y+z&=4\end{array}\right.

a) Clasifica el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de a.
b) Resuelve el sistema para a=3.


Solución:

a) Para clasificar el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Escribimos el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&3&1\\3&1&a-1\\1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&3&1\\3&1&a-1\\1&1&1\end{vmatrix}=1+3(a-1)+3-1-9-(a-1)=2(a-1)-6

Determinante que se anula con:

2(a-1)-6=0~;\\\\a-1=3~;\\\\a=4

  • Si a≠4, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=4, entonces \begin{pmatrix}1&3&1\\3&1&3\\1&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&3\\3&1\end{vmatrix}=1-9\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&3&1\\3&1&3\\1&1&4\end{vmatrix}=4+9+3-1-36-3\neq0
    Luego, el rango de la matriz ampliada es 3, y el sistema es incompatible.

b) Para a=3 el sistema es compatible determinado como se dijo anteriormente. Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

\begin{pmatrix}1&3&1\\3&1&2\\1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}

x=\dfrac{\begin{vmatrix}1&3&1\\3&1&2\\4&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3&1\\3&1&2\\1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{1+24+3-4-9-2}{2\cdot2-6}=\dfrac{13}{-2}

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&1\\3&3&2\\1&4&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3&1\\3&1&2\\1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{3+2+12-3-3-8}{-2}=\dfrac{3}{-2}

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&3&1\\3&1&3\\1&1&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3&1\\3&1&2\\1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{4+9+3-1-36-3}{-2}=\dfrac{-24}{-2}=12

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