Problema 1037

Se espera que en los próximos diez años, los beneficios (en millones de euros) de una empresa, vengan dados por la función P(t)=t^2-10t+16, donde t ∈ (0, 10] es el tiempo transcurrido en años desde el momento inicial.

a) Determina en qué momento del tiempo los beneficios serán de 16 millones de euros.
b) Determina en qué momento los beneficios serán mínimos.


Solución:

a) Igualamos la función a 16 y resolvemos:

t^2-10t+16=16~;\\\\t^2-10t=0~;\\\\t(t-10)=0

ecuación cuyas soluciones son t=0 y t=10. En 0 no está definida la función luego, la empresa alcanza un beneficio de 16 millones de euros al cabo de 10 años.


b) Calculamos los puntos críticos de P:

P'(t)=2t-10~;\\\\2t-10=0~;\\\\t=5

Utilizamos el test de la derivada segunda cara caracterizar el punto crítico:

P''(t)=2~;\\\\P''(5)=2>0

Luego, al cabo de 5 años los beneficios de la empresa son mínimos.

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