Problema 1040

Una empresa de asistencia ha de enviar enfermeros y médicos a una residencia de mayores para cubrir las vacaciones. Por limitación de espacio, sólo pueden acudir cada vez un máximo de 12 profesionales. Además, en cada visita cada enfermero acumula 2 descansos y cada médico acumula 4 descansos. La empresa sólo dispone de 8 médicos y no le interesa generar más de 36 descansos en cada asistencia. Si la empresa obtiene un beneficio neto de 50 euros por cada enfermero y de 80 euros por cada médico que va a la residencia, calcula, utilizando técnicas de programación lineal, cuántos enfermeros y médicos han de acudir cada vez a la residencia para obtener el máximo beneficio neto por parte de la empresa de asistencia. ¿Cuál es ese beneficio neto máximo?


Solución:

Sea x el número de enfermeros e y el número de médicos que han de acudir a la residencia.
Sólo pueden acudir un máximo de 12 profesionales:

x+y\leq12

La empresa sólo dispone de 8 médicos:

y\leq8

Sobre los descansos sabemos que:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&\text{Enfermeros}&\text{M\'edicos}\\\hline\text{Descansos}&2&4\\\hline\end{array}

No se pueden generar más de 36 descansos:

2x+4y\leq36\qquad\rightarrow\qquad x+2y\leq18

Junto con las restricciones naturales, obtenemos el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x+y\leq12\\y\leq8\\x+2y\leq18\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos:

\left\{\begin{array}{l}x+y=12\\y=8\\x+2y=18\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p1040

La región sombreada es la región factible. Calculamos los vértices de la región factible:

\begin{array}{ll}A:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow A=(0,0)\\\\B:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=8\end{array}\right.&\rightarrow B=(0,8)\\\\C:~\left\{\begin{array}{l}x+2y=18\\y=8\end{array}\right.&\rightarrow C=(2,8)\\\\D:~\left\{\begin{array}{l}x+2y=18\\x+y=12\end{array}\right.&\rightarrow D=(6,6)\\\\E:~\left\{\begin{array}{l}y=0\\x+y=12\end{array}\right.&\rightarrow E=(12,0)\end{array}

La función beneficio es f(x,y)=50x+80y. Evaluamos la función beneficios en cada vértice:

A\rightarrow f(0,0)=50\cdot0+80\cdot0=0\\B\rightarrow f(0,8)=80\cdot8=640\\C\rightarrow f(2,8)=740\\D\rightarrow f(6,6,)=780\\E\rightarrow f(12,0)=600

El máximo beneficio se obtiene en vértice D, es decir, llevando a 6 enfermeros y 6 médicos. El beneficio máximo es de 780€.

CyL-MCCSS-E-18-1A

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s