Problema 1041

Se considera la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^3+ax+10&\text{si}&0\leq x\leq5\\\frac{100}{x-3}+bx^2&\text{si}&x>5\end{array}\right., donde a y b son parámetros.

a) Determina los valores de a y b para que f sea continua y tenga un mínimo relativo en x=2.
b) Para a=0, halla el área limitada por la función f y el eje OX en el intervalo [0,5].


Solución:

a) Las funciones parciales son continuas en sus respectivos dominios. Queda estudiar la continuidad de f en x=5:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow5^+}\dfrac{100}{x-3}+bx^2=50+25b\\\bullet~\lim_{x\rightarrow5^-}x^3+ax+10=135+5a\\\bullet~f(5)=5^3+5a+10=135+5a

Para que f sea continua en x=5 ha de ser:

50+25b=135+5a~;\\\\5a-25b+85=0~;\\\\a-5b+17=0\qquad(1)

Por otro lado, f presenta un mínimo relativo en x=2, luego f'(2)=0:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}3x^2+a&\text{si}&0<x\leq5\\\frac{-100}{(x-3)^2}+2bx&\text{si}&x>5\end{array}\right.

f'(2)=3\cdot2^2+a=12+a=0

de donde a=-12, y sustituyendo en (1):

-12-5b+17=0~;\\\\5b=5~;\\\\b=1

La solución es a=-12, b=1.


b) Para a=0 nos piden el área definida por el eje OX y la función y=x^3+10 cuya derivada es y'=3x^2. Esta función es creciente en el intervalo (0,5) y positiva en el intervalo [0,5], luego, el área S buscada es:

\displaystyle S=\int_0^5x^3+10~dx=\left[\dfrac{x^4}4+10x\right]_0^5=\dfrac{5^4}4+50-0=\boxed{206.25\text{ u.a.}}

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