Problema 1044

En un hotel se alojaron ayer 25 huéspedes procedentes de tres países, Italia, Portugal y Japón. Su gasto total en el hotel fue de 3610 €, correspondiendo 140 € a cada huésped italiano, 130 € a cada portugués y 160 € a cada japonés. El registro del hotel muestra que el número de portugueses fue la cuarta parte de la suma de los números de huéspedes de los otros dos países. Determina el número de huéspedes de cada uno de los 3 países.


Solución:

Sea x el número de huéspedes italianos, y el número de huéspedes portugueses y z el número de huéspedes japoneses.
En total se alojaron 25 huéspedes:

x+y+z=25

El gasto total fue de 3610€:

140x+130y+160z=3610\qquad\rightarrow\qquad14x+13y+16z=361

El número de portugueses fue la cuarta parta de la suma de los huéspedes de los restantes países:

y=\dfrac14\cdot(x+z)\qquad\rightarrow\qquad x-4y+z=0

Con las tres ecuaciones formamos un sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=25\\14x+13y+16z&=361\\x-4y+z&=0\end{array}\right.

Escribimos el sistema en forma matricial:

\begin{pmatrix}1&1&1\\14&13&16\\1&-4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25\\361\\0\end{pmatrix}

Lo resolvemos utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}25&1&1\\361&13&16\\0&-4&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\14&13&16\\1&-4&1\end{vmatrix}}=\dfrac{325-1444-361+1600}{13+16-56-13-14+64}=\dfrac{120}{10}=12

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&25&1\\14&361&16\\1&0&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\14&13&16\\1&-4&1\end{vmatrix}}=\dfrac{361+400-361-350}{10}=\dfrac{50}{10}=5

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&25\\14&13&361\\1&-4&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\14&13&16\\1&-4&1\end{vmatrix}}=\dfrac{361-1400-325+1444}{10}=\dfrac{80}{10}=8

Es decir, se alojaron 12 huéspedes italianos, 5 huéspedes portugueses y 8 huéspedes japoneses.

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