Problema 1045

Una empresa de aguas realiza un estudio de mercado y descubre que la curva de beneficios mensuales viene dada, en miles de euros, por la función B(x)=10x-x^2-21, donde x representa, en euros, el precio de venta de una caja de botellas. Si este producto se vende en cajas de 10 botellas, calcula el precio de venta de una botella para que el beneficio obtenido sea máximo y calcula el importe de ese beneficio.


Solución:

Calculamos los puntos críticos de B:

B'(x)=10-2x~;\\\\10-2x=0~;\\\\2x=10~;\\\\x=5

Caracterizamos este punto crítico utilizando el test de la derivada segunda:

B''(x)=-2~;\\\\B''(5)=-2<0\rightarrow\text{m\'aximo}

Luego, vendiendo la caja a 5 euros se obtiene un beneficio máximo de:

B(5)=10\cdot5-5^2-21=4 en miles de euros.

Si la caja vale 5 euros, cada una de las 10 botellas vale \frac5{10}=0.5 euros.

CyL-MCCSS-E-18-2B

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