Problema 1048

Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro real a

\left\{\begin{array}{rl}x-y&=-1\\2x-y+z&=3\\y-az&=2\end{array}\right.

a) Clasifica el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de a.
b) Resuelve el sistema para a=2.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&-1&0\\2&-1&1\\0&1&-a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&-1&0\\2&-1&1\\0&1&-a\end{vmatrix}=a-2a-1=-a-1

Determinante que se anula para a=-1, luego:

  • Si a≠-1 tenemos que rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=-1 entonces M=\begin{pmatrix}1&-1&0\\2&-1&1\\0&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}2&-1\\0&1\end{vmatrix}=2\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M*:
    \begin{vmatrix}1&-1&-1\\2&-1&3\\0&1&2\end{vmatrix}=-2-2+4-3=-3\neq0
    Luego, rg(M*)=3 y el sistema es incompatible

b) Para a=2 el sistema es compatible determinado como se vio en el apartado a). Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}-1&-1&0\\3&-1&1\\2&1&-2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1&0\\2&-1&1\\0&1&-2\end{vmatrix}}=\dfrac{-2-2-6+1}{-2-1}=\dfrac{-9}{-3}=3

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&-1&0\\2&3&1\\0&2&-2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1&0\\2&-1&1\\0&1&-2\end{vmatrix}}=\dfrac{-6-4-2}{-3}=\dfrac{-12}{-3}=4

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&-1&-1\\2&-1&3\\0&1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1&0\\2&-1&1\\0&1&-2\end{vmatrix}}=\dfrac{-2-2+4-3}{-3}=\dfrac{-3}{-3}=1

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