Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro real a
a) Clasifica el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de a.
b) Resuelve el sistema para a=2.
Solución:
a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial :
Calculamos el rango de la matriz de coeficientes utilizando determinantes:
Determinante que se anula para a=-1, luego:
- Si a≠-1 tenemos que rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
- Si a=-1 entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Calculamos el rango de la matriz ampliada M*:
Luego, rg(M*)=3 y el sistema es incompatible
b) Para a=2 el sistema es compatible determinado como se vio en el apartado a). Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:
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