Problema 1049

La función:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}20x^2-20x+32&\text{si}&0<x\leq1\\\\\dfrac{90x-45}{x+8}+27&\text{si}&x>1\end{array}\right.

representa el beneficio, en miles de euros, de cierta empresa transcurridos x meses.

a) Estudia razonadamente la continuidad de la función f.
b) Halla los intervalos donde se produce un aumento del beneficio y una disminución del beneficio. ¿En qué momento el beneficio es mínimo?
c) Determina el beneficio de la empresa a muy largo plazo.


Solución:

a) Las  funciones parciales son continuas donde están definidas. Queda estudiar la continuidad de f en x=1:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac{90x-45}{x+8}+27=\dfrac{45}9+27=32\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}20x^2-20x+32=32\\\bullet~f(1)=20\cdot1^2-20\cdot1+32=32

Luego, f es continua en x=1.


b) Estudiamos la monotonía de f. Comenzamos calculando los puntos críticos de las funciones parciales:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}40x-20&\text{si}&0<x<1\\\\\dfrac{765}{(x+8)^2}&\text{si}&x>1\end{array}\right.

\bullet~\text{Si }0<x<1:\\\\40x-20=0~;\\\\x=0.5\\\\\bullet~\text{Si }x>1:\\\\\dfrac{765}{(x+8)^2}=0~;\\\\765=0!!!

Teniendo en cuenta el dominio y el único punto crítico, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(0,0.5)&(0.5,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

El beneficio decrece entre 0 y 0.5 meses, a partir de entonces el beneficio solo crece.
En x=0.5 meses se obtiene el beneficio mínimo.


c) A muy largo plazo el beneficio es:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{90x-45}{x+8}+27=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{90x-45}{x+8}+\lim_{x\rightarrow+\infty}27

El primer límite es una indeterminación \frac\infty\infty:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{90x-45}{x+8}+\lim_{x\rightarrow+\infty}27=27+\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\frac{90x}x-\frac{45}x}{\frac xx+\frac8x}=\\\\=27+\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{90-\frac{45}x}{1+\frac8x}=27+\dfrac{90-0}{1+0}=\boxed{117}

A muy largo plazo, el beneficio de la empresa tiende a 117.000 €.

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