Problema 1052

Queremos conseguir al menos 210 kg de hidratos de carbono y al menos 100 kg de proteínas adquiriendo dos alimentos A y B que sólo contienen estos dos nutrientes. Cada kg de A contiene 0.6 kg de hidratos de carbono y 0.4 kg de proteínas. Cada kg de B contiene 0.9 kg de hidratos de carbono y 0.1 kg de proteínas. Si los costes de A y B son 12 y 6 euros por kg, respectivamente, utiliza técnicas de programación lineal para calcular cuántos kg de cada alimento hay que adquirir para que el coste sea mínimo. ¿A cuánto asciende ese coste mínimo?


Solución:

Sea x el número de kg de A e y el número de kg de B que hay que adquirir.
Reflejamos en la siguiente tabla la cantidad en kg de nutrientes que tiene cada kg de alimento:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&\text{A}&\text{B}\\\hline\text{Hidratos de carbono}&0.6&0.9\\\hline\text{Prote\'inas}&0.4&0.1\\\hline\end{array}

Queremos conseguir al menos 210 kg de hidratos de carbono:

0.6x+0.9y\geq210

y al menos 100 kg de proteínas:

0.4x+0.1y\geq100

Junto con las restricciones de positividad expresamos todas las restricciones en el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}0.6x+0.9y\geq210\\0.4x+0.1y\geq100\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos en una gráfica:

\left\{\begin{array}{l}0.6x+0.9y=210\\0.4x+0.1y=100\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p1052

La región sombreada es la región factible que verifica todas las restricciones. Calculamos los vértices de la región factible:

\begin{array}{ll}A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\0.4x+0.1y=100\end{array}\right.&\rightarrow A=(0,1000)\\\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}0.6x+0.9y=210\\0.4x+0.1y=100\end{array}\right.&\rightarrow B=(230,80)\\\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}0.6x+0.9y=210\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow C=(350,0)\end{array}

Si los costes de A y B son 12 y 6 euros por kg, respectivamente, entonces el coste total es:

f(x,y)=12x+6y

Evaluamos cada vértice en la función coste total:

A\rightarrow f(0,1000)=12\cdot0+6\cdot1000=6000\\\\B\rightarrow f(230,80)=3240\\\\C\rightarrow f(350,0)=4200

Luego, el mínimo coste sería de 3240€ si se adquieren 230 kg de alimento A y 80 kg de alimento B.

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