Problema 1053

a) Calcula el valor de a que hace que el valor de la derivada de la función y=ax^3+6x^2-ax-18, en los puntos de abscisa x=-2 y x=1, sean iguales.

b) Sabiendo que la curva y=ax^3+6x^2-ax-18 pasa por el punto (2,12), calcula el valor de a y las coordenadas del punto de la curva donde se anula la segunda derivada.


Solución:

a) Calculamos la derivada:

y'=3ax^2+12x-a

Evaluamos la derivada en x=-2 y x=1:

y'(-2)=12a-24-a=11a-24\\\\y'(1)=3a+12-a=2a+12

Igualamos y resolvemos:

11a-24=2a+12~;\\\\9a=36~;\\\\\boxed{a=4}


b) Pasa por el punto (2,12), luego, y(2)=12:

y(2)=a\cdot2^3+6\cdot2^2-a\cdot2-18=8a+24-2a-18=6a+6~;\\\\6a+6=12~;\\\\6a=6~;\\\\\boxed{a=1}

Calculamos la segunda derivada sabiendo que a=1:

y'(x)=3x^2+12x-1~;\\\\y''(x)=6x+12

Igualamos a 0 y resolvemos:

6x+12=0~;\\\\6x=-12~;\\\\x=-2

El punto donde la segunda derivada se anula es (-2,y(-2)):

y(-2)=(-2)^3+6\cdot(-2)^2-(-2)-18=-8+24+2-18=0

Es decir, en \boxed{(-2,0)}.

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