Problema 1054

El gasto por cliente en un supermercado sigue una distribución normal con media μ euros (desconocida) y desviación típica σ = 10 euros. Se elige una muestra representativa de 225 clientes, resultando una suma total de sus gastos de 2587.50 euros.

a) Determina un intervalo de confianza del 99% para el gasto medio por cliente.
b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra de clientes que permita alcanzar, con una confianza del 95%, un error máximo de 1.20 euros en la estimación del gasto medio por cliente.


Solución:

a) De esta muestra, el valor medio de gasto de cada cliente es:

\overline x=\dfrac{2587.5}{225}=11.5

Según la tabla de probabilidades, para un nivel de confianza del 99% tenemos z_{\alpha/2}=2.575.
El intervalo de confianza para el gasto medio es:

\left(\overline x-z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\overline x+z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)

(11.5-1.72,11.5+1.72)=\boxed{(9.78,13.22)}


b) Para un nivel de confianza del 95% tenemos z_{\alpha/2}=1.96. Dado que el error E es:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}

Despejamos n:

n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2

Siendo σ=10 y E=1.2, entonces:

n=\left(1.96\cdot\dfrac{10}{1.2}\right)^2=266.7

El tamaño mínimo de la muestra ha de ser de 267 clientes.

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