Problema 1054

📖Distribución de probabilidad CCSS, Selectividad Mat CCSSDistribución normal, Intervalo de confianzadurán

El gasto por cliente en un supermercado sigue una distribución normal con media μ euros (desconocida) y desviación típica σ = 10 euros. Se elige una muestra representativa de 225 clientes, resultando una suma total de sus gastos de 2587.50 euros.

a) Determina un intervalo de confianza del 99% para el gasto medio por cliente.
b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra de clientes que permita alcanzar, con una confianza del 95%, un error máximo de 1.20 euros en la estimación del gasto medio por cliente.

Solución:

a) De esta muestra, el valor medio de gasto de cada cliente es:

$\overline x=\dfrac{2587.5}{225}=11.5$

Según la tabla de probabilidades, para un nivel de confianza del 99% tenemos $z_{\alpha/2}=2.575$ .
El intervalo de confianza para el gasto medio es:

$\left(\overline x-z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\overline x+z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)$

$(11.5-1.72,11.5+1.72)=\boxed{(9.78,13.22)}$

b) Para un nivel de confianza del 95% tenemos $z_{\alpha/2}=1.96$ . Dado que el error E es:

$E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$

Despejamos n:

$n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2$

Siendo σ=10 y E=1.2, entonces:

$n=\left(1.96\cdot\dfrac{10}{1.2}\right)^2=266.7$

El tamaño mínimo de la muestra ha de ser de 267 clientes.

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