Problema 1056

Una conocida cadena de ropa ha rebajado sus precios. Un pantalón, una camisa y un abrigo valían en temporada 360 euros en total. En las primeras rebajas, el pantalón se rebajó un 10% y la camisa un 20%, con lo que un cliente podía llevarse ambas prendas por 137 euros. En las segundas rebajas, y sobre el precio de temporada, el pantalón se rebajó un 20% y el abrigo un 30%, por lo que juntos costaban 212 euros. Calcula el precio de cada prenda en temporada.


Solución:

Sea x, y y z los precios en temporada del pantalón, la camisa y el abrigo respectivamente:

x+y+z=360

En la primeras rebajas el precio del pantalón se rebaja un 10% y el de la camisa un 20%:

0.9x+0.8y=137

En las segundas rebajas, sobre el precio de temporada, el precio del pantalón se rebajó un 20% y el del abrigo un 30%:

0.8x+0.7z=212

Tenemos así el siguiente sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=360\\0.9x+0.8y&=137\\0.8x+0.7z&=212\end{array}\right.

En forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&1&1\\0.9&0.8&0\\0.8&0&0.7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}360\\137\\212\end{pmatrix}

Lo resolvemos utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}360&1&1\\137&0.8&0\\212&0&0.7\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\0.9&0.8&0\\0.8&0&0.7\end{vmatrix}}=\dfrac{201.6-169.6-95.9}{0.56-0.64-0.63}=\dfrac{-63.9}{-0.71}=90

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&360&1\\0.9&137&0\\0.8&212&0.7\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\0.9&0.8&0\\0.8&0&0.7\end{vmatrix}}=\dfrac{95.9+190.8-109.6-226.8}{-0.71}=\dfrac{-49.7}{-0.71}=70

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&360\\0.9&0.8&137\\0.8&0&212\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\0.9&0.8&0\\0.8&0&0.7\end{vmatrix}}=\dfrac{169.6+109.6-230.4-190.8}{-0.71}=\dfrac{-142}{-0.71}=200

En temporada el pantalón vale 90€, la camisa vale 70€ y el abrigo 200€.

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