Problema 1057

Se considera la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac1{4-x^2}&\text{si}&0<x<2\\2x&\text{si}&2\leq x<4\end{array}\right..

a) Estudia razonadamente su continuidad.
b) Calcula el área limitada por la función f y el eje OX en el intervalo [2,3].


Solución:

a) La función y=2x es continua en el intervalo (2,4) y la función y=\frac1{4-x^2} en el intervalo (0,2) ya que 4-x^2 se anula en x=\pm2. Queda estudiar la continuidad de f en x=2:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow2^+}2x=4\\\bullet~\lim_{x\rightarrow2^-}\dfrac1{4-x^2}=\dfrac1{4-4^-}=\dfrac1{0^+}=+\infty\\\bullet~f(2)=2\cdot2=4

f no es continua en x=2, presenta una discontinuidad de salto infinito.


b) El área S es:

\displaystyle S=\int_2^32x~dx=\Big[x^2\Big]_2^3=3^2-2^2=\boxed{5\text{ u.a.}}

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