Problema 1058

En una asignatura de primer curso de un grado universitario, asisten a clase regularmente 210 alumnos de los 300 alumnos matriculados. Al finalizar el período docente, superan la asignatura el 80% de los alumnos que asisten regularmente a clase y el 50% de los alumnos que no asisten regularmente a clase. Se elige un alumno matriculado al azar.

a) Calcula la probabilidad de que haya superado la asignatura y no haya asistido regularmente a clase.
b) Sabiendo que ha superado la asignatura, ¿cuál es la probabilidad de que haya asistido regularmente a clase?


Solución:

Sea A el suceso “alumnos que asisten regularmente” y sea S el suceso “superar la asignatura”. Conocemos las siguientes probabilidades:

  • P[A]=\frac{210}{300}=0.7
  • P[S/A]=0.8
  • P[S/\overline A]=0.5

Con estos datos podemos completar el siguiente diagrama de árbol:

p1058

a) Nos piden la probabilidad de la intersección P[S\cap\overline A]:

P[S\cap\overline A]=P[\overline A]\cdot P[S/\overline A]=(1-P[A])\cdot P[S/\overline A]=\\\\=(1-0.7)\cdot0.5=\boxed{0.15}


b) Nos piden la probabilidad P[A/S]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[A/S]=\dfrac{P[A]\cdot P[S/A]}{P[S]}

donde la probabilidad total P[S] vale:

P[S]=P[A]\cdot P[S/A]+P[\overline A]\cdot P[S/\overline A]=\\\\=0.7\cdot0.8+0.3\cdot0.5=0.71

luego:

P[A/S]=\dfrac{0.7\cdot0.8}{0.71}=\boxed{0.789}

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