Problema 1059

En un grupo de 8 amigos se encuentran los 3 agraciados con un viaje para visitar Lisboa sorteado por la embajada portuguesa. Si hay 4 amigos que ya han visitado Lisboa, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los agraciados haya visitado Lisboa?


Solución:

Se van a efectuar 3 extracciones sin reemplazamiento.
De los 8 amigos 4 no han visitado Lisboa. Si extraemos al azar a uno de los 8 amigos, la probabilidad de que éste no haya visitado Lisboa es:

p_1=\dfrac48=\dfrac12

De los 7 amigos restantes quedan 3 que no han visitado Lisboa, luego la probabilidad de que en la segunda extracción el agraciado no haya visitado Lisboa es:

p_2=\dfrac37

De los 6 amigos restantes, aún quedan 2 que no han visitado Lisboa, por lo que la probabilidad de que en la tercera extracción el agraciado no haya visitado Lisboa es:

p_3=\dfrac26=\dfrac13

Luego, la probabilidad de que de los 3 amigos agraciados ninguno haya visitado Lisboa es:

p=p_1\cdot p_2\cdot p_3=\dfrac12\cdot\dfrac37\cdot\dfrac13=\boxed{\dfrac1{14}}

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