Problema 1060

Una empresa dispone de dos talleres para la reparación de motos y coches. El primero de los talleres dispone de 300 horas de trabajo como máximo y necesita 6 horas para reparar cada moto y 5 horas para cada coche. El segundo de los talleres dispone de 200 horas de trabajo como máximo y necesita 2 horas para reparar cada moto y 5 horas para cada coche. El beneficio neto que obtiene la empresa por cada moto reparada es de 1000 € mientras que el beneficio neto que obtiene por cada coche reparado es de 1500 €. Calcula, utilizando técnicas de programación lineal, cuántos coches y motos ha de reparar para obtener el máximo beneficio neto. ¿Cuál es ese beneficio neto máximo?


Solución:

Sea x el número de motos e y el número de coches que la empresa tiene que reparar.
Existen dos talleres T_1 y T_2. En la siguiente tabla se expresa el número de horas de reparación disponibles para cada moto y cada coches en cada taller:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&T_1&T_2\\\hline\text{Moto}&6&2\\\hline\text{Coche}&5&5\\\hline\end{array}

El primero de los talleres dispone de 300 horas:

6x+5y\leq300

El segundo taller dispone de 200 horas:

2x+5y\leq200

Junto con las restricciones naturales escribimos el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}6x+5y\leq300\\2x+5y\leq200\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos:

\left\{\begin{array}{l}6x+5y=300\\2x+5y=200\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p1060

La región sombreada es la región factible que verifica todas las restricciones. Calculamos los vértices de la región factible:

\begin{array}{ll}A:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.\rightarrow A=(0,0)\\\\B:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\2x+5y=200\end{array}\right.\rightarrow B=(0,40)\\\\C:~\left\{\begin{array}{l}6x+5y=300\\2x+5y=200\end{array}\right.\rightarrow C=(25,30)\\\\D:~\left\{\begin{array}{l}6x+5y=300\\y=0\end{array}\right.\rightarrow D=(50,0)\end{array}

Dado que por cada moto reparada la empresa obtiene un beneficio de 1000€ y 1500€ por cada coche, la función beneficio es:

f(x,y)=1000x+1500y

Evaluamos la función beneficio en cada vértice de la región factible:

A\rightarrow f(0,0)=1000\cdot0+1500\cdot0=0\\\\B\rightarrow f(0,40)=60000\\\\C\rightarrow f(25,30)=70000\\\\D\rightarrow f(50,0)=50000

El máximo beneficio se obtiene reparando 25 motos y 30 coches. El beneficio en ese caso es de 70.000€.

CyL-MCCSS-E-17-1B

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