Problema 1061

Halla razonadamente dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máximo.


Solución:

Sean los dos número reales positivos x e y cuya suma es 10:

x+y=10

Definimos la función producto de sus cuadrados:

f(x,y)=x^2\cdot y^2

función que hemos de maximizar.
De la restricción x+y=10 obtenemos y=10-x, y sustituimos en la función f:

f(x)=x^2\cdot(10-x)^2~;\\\\f(x)=x^2\cdot(100+x^2-20x)~;\\\\f(x)=100x^2+x^4-20x^3

Calculamos los puntos críticos de f:

f'(x)=200x+4x^3-60x^2=0~;\\\\4x(50+x^2-15x)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0, x=5, x=10.
Para caracterizar estos puntos críticos utilizamos el test de la derivada segunda:

f''(x)=200+12x^2-120x\\\\\bullet~f''(0)=200\\\\\bullet~f''(5)=200+12\cdot25-120\cdot5=-100\\\\\bullet~f''(10)=200+12\cdot100-120\cdot10=200

Según el test, el máximo se alcanza para x=5 siendo y=10-5=5.

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