Problema 1062

Una granja cultiva perlas cuyos diámetros siguen una distribución normal con media μ mm y desviación típica σ = 0 . 8 mm. Se quiere comprobar el cumplimiento de las especificaciones exigidas por una joyería en la elaboración de sus collares. Para ello se elige una muestra representativa de 256 perlas, resultando un diámetro medio muestral de 9.92 mm.

a) Calcula el intervalo de confianza para el diámetro medio poblacional de las perlas con un nivel de confianza del 90 %.
b) Calcula el tamaño necesario de la muestra de perlas que permita alcanzar, con un nivel de confianza del 98%, un error máximo de 0.2 mm en la estimación del diámetro medio poblacional de una perla.


Solución:

a) El intervalo de confianza para la media del diámetro tiene la forma:

\left(\overline x-z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\overline x+z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)

Según la tabla de probabilidades para un nivel de confianza del 90% tenemos z_{\alpha/2}=1.645.
Sustituimos los valores y obtenemos el intervalo de confianza:

\left(9.92-1.645\cdot\dfrac{0.8}{\sqrt{256}},9.92+1.645\cdot\dfrac{0.8}{\sqrt{256}}\right)=\boxed{(9.84,100)}


b) Para un nivel de confianza del 98% tenemos que z_{\alpha/2}=2.327.
Dado que el error máximo es:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}

Entonces el tamaño muestral ha de ser:

n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2=\left(2.327\cdot\dfrac{0.8}{0.2}\right)^2=86.6

El tamaño muestral ha de ser de al menos 87 perlas.

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