Problema 1064

Discutir, en función de m, el sistema de ecuaciones

$S=\left\{\begin{array}{rl}(m+3)x+my+mz&=m-1\\3x+mz&=m-2\\-y+z&=m-3\end{array}\right.$

Resolver en los casos de indeterminación, suponiendo que existan.

Solución:

Para discutir el sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Escribimos el sistema en forma matricial $(MX=N)$ :

$\begin{pmatrix}m+3&m&m\\3&0&m\\0&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m-1\\m-2\\m-3\end{pmatrix}$

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes utilizando determinantes:

$\begin{vmatrix}m+3&m&m\\3&0&m\\0&-1&1\end{vmatrix}=-3m-3m+m(m+3)=m^2-3m=m(m-3)$

determinante que se anula para m=0 y m=3. Entonces:

Si m≠0 y m≠3 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
Si m=0, tenemos $M=\begin{pmatrix}3&0&0\\3&0&0\\0&-1&1\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}3&0\\0&-1\end{vmatrix}=-3\neq0$ .
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
$\begin{vmatrix}3&0&-1\\3&0&-2\\0&-1&-3\end{vmatrix}=3-6=-3\neq0$
Por lo que el rango de la matriz ampliada es 3 y el sistema es incompatible.
Si m=3, tenemos $M=\begin{pmatrix}6&3&3\\3&0&3\\0&-1&1\end{pmatrix}$ cuyo rango también es 2 ya que $\begin{vmatrix}3&0\\0&-1\end{vmatrix}=-3\neq0$ .
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
$\begin{vmatrix}6&3&2\\3&0&1\\0&-1&0\end{vmatrix}=-6+6=0$
Luego el rango de la matriz ampliada es 2 y el sistema es compatible indeterminado.