Discutir, en función de m, el sistema de ecuaciones
Resolver en los casos de indeterminación, suponiendo que existan.
Solución:
Para discutir el sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Escribimos el sistema en forma matricial :
Calculamos el rango de la matriz de coeficientes utilizando determinantes:
determinante que se anula para m=0 y m=3. Entonces:
- Si m≠0 y m≠3 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
- Si m=0, tenemos
cuyo rango es 2 ya que
.
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
Por lo que el rango de la matriz ampliada es 3 y el sistema es incompatible. - Si m=3, tenemos
cuyo rango también es 2 ya que
.
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
Luego el rango de la matriz ampliada es 2 y el sistema es compatible indeterminado.
Una vez discutido el sistema en función de m, resolvemos el sistema para m=3.
Sistema que es equivalente al siguiente sistema:
Parametrizamos :
Y la solución del sistema es:
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