Problema 1064

Discutir, en función de m, el sistema de ecuaciones

S=\left\{\begin{array}{rl}(m+3)x+my+mz&=m-1\\3x+mz&=m-2\\-y+z&=m-3\end{array}\right.

Resolver en los casos de indeterminación, suponiendo que existan.


Solución:

Para discutir el sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Escribimos el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}m+3&m&m\\3&0&m\\0&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m-1\\m-2\\m-3\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}m+3&m&m\\3&0&m\\0&-1&1\end{vmatrix}=-3m-3m+m(m+3)=m^2-3m=m(m-3)

determinante que se anula para m=0 y m=3. Entonces:

  • Si m≠0 y m≠3 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si m=0, tenemos M=\begin{pmatrix}3&0&0\\3&0&0\\0&-1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}3&0\\0&-1\end{vmatrix}=-3\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}3&0&-1\\3&0&-2\\0&-1&-3\end{vmatrix}=3-6=-3\neq0
    Por lo que el rango de la matriz ampliada es 3 y el sistema es incompatible.
  • Si m=3, tenemos M=\begin{pmatrix}6&3&3\\3&0&3\\0&-1&1\end{pmatrix} cuyo rango también es 2 ya que \begin{vmatrix}3&0\\0&-1\end{vmatrix}=-3\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}6&3&2\\3&0&1\\0&-1&0\end{vmatrix}=-6+6=0
    Luego el rango de la matriz ampliada es 2 y el sistema es compatible indeterminado.

Una vez discutido el sistema en función de m, resolvemos el sistema para m=3.

\left\{\begin{array}{rl}6x+3y+3z&=2\\3x+3z&=1\\-y+z&=0\end{array}\right.

Sistema que es equivalente al siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{rl}3x+3z&=1\\-y+z&=0\end{array}\right.

Parametrizamos z=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}3x&=1-3\lambda\\-y&=-\lambda\end{array}\right.

Y la solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{1-3\lambda}3\\y=\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

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