Problema 1065

Sean la recta r\equiv\left\{\begin{array}{l}4x-3y+4z=1\\3x-2y+z=0\end{array}\right. y el plano \alpha\equiv x-y+Az=0.

a) ¿Existe algún valor de A para que el plano sea paralelo a r?
b) Encontrar el plano perpendicular a la recta r que pasa por el punto (0,0,0).


Solución:

a) A partir de las implícitas de la recta obtenemos su vector director \vec v_r:

\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\4&-3&4\\3&-2&1\end{vmatrix}=(-3+8)\vec\imath+(12-4)\vec\jmath+(-8+9)\vec k=(5,8,1)\\\\\vec v_r=(5,8,1)

Si recta y plano son paralelos entonces el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano:

\boxed{r\parallel\alpha\qquad\leftrightarrow\qquad\vec v_r\perp\vec n_{\alpha}}

Siendo el vector normal de α \vec n_{\alpha}=(1,-1,A), aplicamos la condición de perpendicularidad a \vec v_r y \vec n_{\alpha}:

\vec v_r\cdot\vec n_{\alpha}=(5,8,1)\cdot(1,-1,A)^t=5-8+A=0~;\\\\\boxed{A=3}


b) Nos piden un plano β perpendicular a r. En este caso el vector normal de dicho plano es proporcional al vector director de la recta:

\vec n_{\beta}=\vec v_r=(5,8,1)

Luego, el plano β es de la forma:

\beta\equiv~5x+8y+z+D=0

Dado que β pasa por el punto (0,0,0):

5\cdot0+8\cdot0+0+D=0~;\\\\D=0

luego, el plano buscado es:

\boxed{\beta\equiv~5x+8y+z=0}

PV-MII-O-19-2A

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