Problema 1066

Dada la función f(x)=x^2+64 y el punto exterior a su gráfica P(6,0), encontrar la recta o rectas tangentes a f que pasen por P.


Solución:

La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de tangencia de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

En nuestro caso:

f(x_0)=x_0^2+64

y la pendiente de la recta tangente es:

f'(x)=2x~;\\\\f'(x_0)=2x_0

Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente obtenemos:

y=2x_0\cdot(x-x_0)+x_0^2+64\\\\y=2x_0x-2x_0^2+x_0^2+64\\\\y=-x_0^2+2x_0x+64

Dado que la recta tangente pasa por el punto (x,y)=(6,0) entonces:

0=-x_0^2+2x_0\cdot6+64~;\\\\0=-x_0^2+12x_0+64

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x_0=-4\text{ y }x_0=16. Tenemos por tanto dos rectas tangentes a f que pasan por el punto (6,0). Sustituimos en y=-x_0^2+2x_0x+64:

  • x_0=-4:
    y=-16-8x+64~;\\\boxed{y=-8x+48}
  • x_0=16:
    y=-256+32x+64~;\\\boxed{y=32x-192}

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