Problema 1067

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIIntegración por partes, integrales, Integrales indefinidasdurán

Calcula $\int xe^{-4x}~dx$ , explicando el proceso utilizado para dicho cálculo.

Solución:

Utilizamos el método de integración por partes:

$\displaystyle\boxed{\int u~dv=u\cdot v-\int v~du}$

$\begin{array}{ll}u=x&\rightarrow du=dx\\dv=e^{-4x}~dx&\rightarrow v=\dfrac{-1}4e^{-4x}\end{array}$

Luego:

$\displaystyle\int xe^{-4x}~dx=\dfrac{-x}4e^{-4x}-\int\dfrac{-1}4e^{-4}~dx=\dfrac{-x}4e^{-4x}-\dfrac1{16}e^{-4x}+k=\\\\=\boxed{-e^{-4x}\cdot\dfrac{4x+1}{16}+k}$

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