Problema 1068

Sobre una mesa tengo tres cajas con botones; la primera caja tiene 3 botones, la segunda 5 y la tercera 4. Cada una de las cajas contiene un solo botón rojo. Si elijo al azar una caja y saco de ella un botón al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un botón rojo?
b) Si he sacado un botón rojo, ¿cuál es la probabilidad de pertenezca a la primera caja?


Solución:

Sean A, B y C las cajas primera, segunda y tercera respectivamente. Sea R el suceso “elegir botón rojo”. En el siguiente diagrama de árbol se muestran las probabilidades de elegir cada caja y las probabilidades condicionadas de sacar el botón rojo de cada caja:

p1068

a) Nos piden la probabilidad total P[R]:

P[R]=P[A]\cdot P[R/A]+P[B]\cdot P[R/B]+P[C]\cdot P[R/C]=\\\\=\dfrac13\cdot\dfrac13+\dfrac13\cdot\dfrac15+\dfrac13\cdot\dfrac14=\boxed{\dfrac{47}{180}}


b) Nos piden la probabilidad condicionada P[A/R]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[A/R]=\dfrac{P[A]\cdot P[R/A]}{P[R]}=\dfrac{\frac13\cdot\frac13}{\frac{47}{180}}=\boxed{\dfrac{20}{47}}

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