Problema 1070

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, Vectores II,

Se consideran los tres puntos A(0, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(−1, −1, 2). ¿Están alineados? En caso afirmativo hallar la ecuación de la recta que los contiene. En caso negativo calcular el plano que los contiene.

Solución:

Los tres puntos A, B y C están alineados si los dos vectores \overrightarrow{AB}\text{ y }\overrightarrow{AC} son paralelos:

\bullet~\overrightarrow{AB}=(1,1,1)-(0,0,1)=(1,1,0)\\\bullet~\overrightarrow{AC}=(-1,-1,2)-(0,0,1)=(-1,-1,1)

Aplicamos la condición de paralelismo a estos vectores:

\dfrac1{-1}=\dfrac1{-1}=\dfrac01

Estas igualdades son falsas, luego, los dos vectores no son paralelos y los tres puntos no están alineados.

El plano que contiene a estos tres puntos es el que contiene a A y tiene por vectores directores a \overrightarrow{AB}\text{ y }\overrightarrow{AC}. Calculamos su ecuación implícita o general:

\begin{vmatrix}x&y&z-1\\1&1&0\\-1&-1&1\end{vmatrix}=x-(z-1)+(z-1)-y=x-y

La ecuación general del plano que contiene a los tres puntos es \boxed{x-y=0}.

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PV-MII-O-19-2B

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