Problema 1071

Sea f la función f(x)=x^2e^{-4x}. Calcular la primera y la segunda derivada de f. Hallar los máximos y mínimos de f.


Solución:

Recordar la tabla de derivadas:

f'(x)=2xe^{-4x}+x^2e^{-4x}\cdot(-4)=\boxed{2e^{-4x}(x-2x^2)}\\\\f''(x)=2e^{-4x}(-4)(x-2x^2)+2e^{-4x}(1-4x)=\boxed{2e^{-4x}(1-8x+8x^2)}

Para calcular los máximos y mínimos de f primero calculamos sus puntos críticos:

f'(x)=2e^{-4x}(x-2x^2)=2xe^{-4x}(1-2x)=0~;\\\\\bullet~1-2x=0~\rightarrow x=\dfrac12\\\bullet~e^{-4x}=0~!!!\\\bullet~2x=0~\rightarrow x=0

f solo presenta dos puntos críticos en x=0\text{ y }x=\frac12. Caracterizamos dichos puntos críticos utilizando el test de la derivada segunda:

f''(0)=2e^{-4\cdot0}\cdot(1-8\cdot0+8\cdot0^2)=2>0~\rightarrow\text{m\'inimo}\\f''(\frac12)=2e^{-4\cdot\frac12}\cdot(1-8\cdot\frac12+8\cdot(\frac12)^2)=2e^{-2}\cdot(1-4+2)<0~\rightarrow\text{m\'aximo}

Según el test, la función f presenta un mínimo en x=0 y un máximo en x=1/2.

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