Problema 1072

Representar el recinto finito del plano limitado por la recta y=x+2 y por la parábola y=x^2. Calcular su área.


Solución:

Tenemos una función afín y=x+2 cuya gráfica es una recta creciente, de pendiente 1, que pasa por el punto (0,2).
Tenemos también una función cuadrática y=x^2, cuya gráfica es una parábola convexa cuyo vértice está en (0,0) y pasa por los puntos (1,1) y (-1,1).

p1072

Calculamos las abscisas donde cortan ambas funciones igualando sus ecuaciones:

x+2=x^2~;\\\\x^2-x-2=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=-1 y x=2.
El área comprendido entre ambas gráficas es:

\displaystyle\int_{-1}^2(x+2)-(x^2)~dx=\left[\dfrac{x^2}2+2x-\dfrac{x^3}3\right]_{-1}^2=\\\\=\left(\dfrac{2^2}2+2\cdot 2-\dfrac{2^3}3\right)-\left(\dfrac{(-1)^2}2+2\cdot(-1)-\dfrac{(-1)^3}3\right)=\\\\=\left(2+4-\dfrac83\right)-\left(\dfrac12-2+\dfrac13\right)=\boxed{\dfrac92\text{ u.a.}}

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