Problema 1074

Discutir, en función de los valores de A, el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x+2y+3z&=6\\x+y-z&=1\\2x-2y+Az&=A\end{array}\right.


Solución:

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&2&3\\1&1&-1\\2&-2&A\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\1\\A\end{pmatrix}

Estudiamos el rango de la matriz de coeficientes M utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&2&3\\1&1&-1\\2&-2&A\end{vmatrix}=A-4-6-6-2A-2=-A-18=0~;\\\\A=-18

Utilizando el teorema de R-F:

  • Si A≠-18, tenemos que rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si A=-18, tenemos M=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&1&-1\\2&-2&-18\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}=1-2=-1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}1&2&3&6\\1&1&-1&1\\2&-2&-18&-18\end{pmatrix} por determinantes:
    \begin{vmatrix}1&2&6\\1&1&1\\2&-2&-18\end{vmatrix}=-18+4-12-12+36+2=0
    Luego, el rango de la matriz ampliada es también 2, y el sistema es compatible indeterminado.

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