Problema 1075

Hallar la ecuación de una recta paralela al plano π ≡ x + 2y + 3z = 6 y que
contenga al punto P (1, 0, 0). ¿Es única dicha recta? Razonar la respuesta.


Solución:

Si una recta es paralela a un plano entonces el vector director de esa recta es perpendicular al vector normal de ese plano:

\boxed{r\parallel\pi~\leftrightarrow~\vec v_r\perp\vec n_\pi}

Dado que el vector normal de π es \vec n_\pi=(1,2,3) un vector perpendicular a éste es: \vec v_r=(-2,1,0). Observamos que estos vectores cumplen la condición de perpendicularidad.
Luego, una recta paralela al plano π y que pasa por P es:

\boxed{r\equiv~(x,y,z)=(1,0,0)+\lambda(-2,1,0)}

No es la única recta recta que cumple esas condiciones ya que cualquier vector \vec v_r=(a,b,c) que cumpla la condición de perpendicularidad

(1,2,3)\cdot(a,b,c)^t=a+2b+3c=0

es perpendicular a \vec n_\pi. Para cualquier par de números reales b y c, el vector (-2b-3c,b,c) es perpendicular a \vec n_\pi.

PV-MII-E-19-2A

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