Problema 1076

Sea f la función f(x)=x^3+Ax^2+Bx+C.

a) Obtener los valores de A, B y C para que su gráfica contenga al punto P (0, 1) y para que f tenga un mínimo local en el punto Q(2, 0).
b) ¿La función obtenida tiene otros máximos o mínimos locales ?


Solución:

a) Queremos que la gráfica de f pase por el punto P(0,1):

\bullet~f(0)=1

Y que tenga un mínimo local en Q(2,0):

\bullet~f(2)=0\\\bullet~f'(2)=0

Sabemos que:

\bullet~f(0)=0^3+A\cdot0^2+B\cdot0+C=C~;\\\boxed{C=1}\\\bullet~f(2)=2^3+A\cdot2^2+B\cdot2+C=8+4A+2B+C~;\\\boxed{8+4A+2B+C=0}\\\bullet~f'(x)=3x^2+2AX+B~\rightarrow f'(2)=12+4A+B~;\\\boxed{12+4A+B=0}

Formamos un sistema:

\left\{\begin{array}{rl}C&=1\\4A+2B+C&=-8\\4A+B&=-12\end{array}\right.

Sistema cuya solución es A=\frac{-15}4,~B=3,~C=1.

Utilizando el test de la derivada segunda, podemos comprobar que en x=2 la función f alcanza un mínimo:

f''(x)=6x+2A=6x-\dfrac{15}2~;\\\\f''(2)=12-\dfrac{15}2>0

Luego, según el test, f alcanza un mínimo en x=2.


b) Calculamos todos los puntos críticos de f:

f'(x)=0~;\\\\3x^2-\dfrac{15x}2+3=0~;\qquad\text{multiplicamos por 2 en ambos miembros}\\\\6x^2-15x+6=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=2 y x=\frac12.
Ya sabemos que en x=2 hay un mínimo, Q(2,0).
Caracterizamos el otro punto crítico utilizando el test de la derivada segunda:

f''(\frac12)=6\cdot\dfrac12-\dfrac{15}2=\dfrac{-9}2<0

Luego, en x=\frac12 la función alcanza un máximo local cuya ordenada es:

f(\frac12)=\dfrac{27}{16}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s