Problema 1077

Sea R el recinto del plano limitado por las curvas y=x(3-x) y por y=x^2. Dibujar R y calcular su área.


Solución:

La primera función y=x(3-x)=3x-x^2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava que corta al eje x en los puntos (0,0) y (3,0), corta al eje y en (0,0) y cuyo vértice está en (1.5,\frac94).
La segunda función y=x^2 es otra función cuadrática cuya gráfica es una parábola convexa que pasa por el (0,0), punto que es vértice y punto de corte con ambos ejes. También pasa por los puntos (1,1) y (-1,1).

p1077

Para calcular el área que encierra, primero calculamos dónde se cortan ambas gráficas, igualando ambas funciones y resolviendo:

x^2=x(3-x)~;\\x^2=3x-x^2~;\\2x^2-3x=0~;\\x(2x-3)=0

Ecuación esta última cuyas soluciones son x=0 y x=\frac32. El área buscado es:

\displaystyle\int_0^{3/2}(3x-x^2)-(x^2)~dx=\int_0^{3/2}3x-2x^2~dx=\\\\=\left[\dfrac{3x^2}2-\dfrac{2x^3}3\right]_0^{3/2}=\left(\dfrac{3\cdot(\frac32)^2}2-\dfrac{2\cdot(\frac32)^3}3\right)-(0)=\\\\=\dfrac{27}8-\dfrac94=\boxed{\dfrac98\text{ u.a.}}

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