Sea R el recinto del plano limitado por las curvas y por . Dibujar R y calcular su área.
Solución:
La primera función es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava que corta al eje x en los puntos (0,0) y (3,0), corta al eje y en (0,0) y cuyo vértice está en .
La segunda función es otra función cuadrática cuya gráfica es una parábola convexa que pasa por el (0,0), punto que es vértice y punto de corte con ambos ejes. También pasa por los puntos (1,1) y (-1,1).
Para calcular el área que encierra, primero calculamos dónde se cortan ambas gráficas, igualando ambas funciones y resolviendo:
Ecuación esta última cuyas soluciones son y . El área buscado es:
![\displaystyle\int_0^{3/2}(3x-x^2)-(x^2)~dx=\int_0^{3/2}3x-2x^2~dx=\\\\=\left[\dfrac{3x^2}2-\dfrac{2x^3}3\right]_0^{3/2}=\left(\dfrac{3\cdot(\frac32)^2}2-\dfrac{2\cdot(\frac32)^3}3\right)-(0)=\\\\=\dfrac{27}8-\dfrac94=\boxed{\dfrac98\text{ u.a.}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%5Cint_0%5E%7B3%2F2%7D%283x-x%5E2%29-%28x%5E2%29%7Edx%3D%5Cint_0%5E%7B3%2F2%7D3x-2x%5E2%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B3x%5E2%7D2-%5Cdfrac%7B2x%5E3%7D3%5Cright%5D_0%5E%7B3%2F2%7D%3D%5Cleft%28%5Cdfrac%7B3%5Ccdot%28%5Cfrac32%29%5E2%7D2-%5Cdfrac%7B2%5Ccdot%28%5Cfrac32%29%5E3%7D3%5Cright%29-%280%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cdfrac%7B27%7D8-%5Cdfrac94%3D%5Cboxed%7B%5Cdfrac98%5Ctext%7B+u.a.%7D%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle\int_0^{3/2}(3x-x^2)-(x^2)~dx=\int_0^{3/2}3x-2x^2~dx=\\\\=\left[\dfrac{3x^2}2-\dfrac{2x^3}3\right]_0^{3/2}=\left(\dfrac{3\cdot(\frac32)^2}2-\dfrac{2\cdot(\frac32)^3}3\right)-(0)=\\\\=\dfrac{27}8-\dfrac94=\boxed{\dfrac98\text{ u.a.}}")