Problema 1078

Una caja tiene 3 monedas R, L y M . La moneda R es normal, la L tiene cara por los dos lados y la M está trucada, de forma que la probabilidad de salir cara es 1/5. Se tira una moneda elegida al azar.

a) Calcular la probabilidad que se obtenga cara.
b) Si ha salido cruz, ¿cuál es la probabilidad que sea la moneda R?

Solución:

Las tres monedas son iguales, luego, la probabilidad de elegir cada moneda es \frac13. A continuación escribimos las probabilidades condicionadas de que salga cara C:

  • P[C/R]=\dfrac12
  • P[C/L]=\dfrac22=1
  • P[C/M]=\dfrac15

Representamos las probabilidades en el siguiente diagrama de árbol:

p1078

a) Nos piden la probabilidad total P[C]:

P[C]=P[R]\cdot P[C/R]+P[L]\cdot P[C/L]+P[M]\cdot P[C/M]=\\\\=\dfrac13\cdot\dfrac12+\dfrac13\cdot1+\dfrac13\cdot\dfrac15=\boxed{\dfrac{17}{30}}


b) Nos piden la probabilidad condicionada P[R/\overline C]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[R/\overline C]=\dfrac{P[R]\cdot P[\overline C/R]}{P[\overline C]}

Sabemos que:

  • P[\overline C]=1-P[C]=1-\dfrac{17}{30}=\dfrac{13}{30}
  • P[\overline C/R]=1-P[C/R]=1-\dfrac12=\dfrac12

Luego:

P[R/\overline C]=\dfrac{\frac13\cdot\frac12}{\frac{13}{30}}=\boxed{\dfrac5{13}}

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