Problema 1079

Dada una matriz de tamaño 3 × 3 cuyo determinante es igual a 5, se realizan sucesivamente las siguientes operaciones:

a) se cambian entre sí la primera y segunda fila,
b) se multiplica a la tercera columna por −2,
c) se multiplica a toda la matriz por 2 y
d) se traspone la matriz.

Calcular de forma razonada el valor del determinante de la matriz obtenida.


Solución:

Sea A dicha matriz 3 × 3, y sea A_i la matriz que resulta tras cada operación. Para el cálculo de los determinantes utilizaremos las propiedades de los determinantes:

a) Según la propiedad 5, al intercambiar dos filas (columnas) el determinante cambia de signo, luego:

|A_1|=-|A|=-5


b) Según la propiedad 6, al multiplicar una columna por un número, el valor del determinante queda multiplicado por ese número:

|A_2|=-2\cdot|A_1|=(-2)\cdot(-5)=10


c) Según la propiedad 6, la multiplicar toda la matriz por un número, el valor del determinante queda multiplicado por ese número elevado al orden de esa matriz:

|A_3|=2^3\cdot|A_2|=8\cdot10=80


d) Según la propiedad 2, el determinante de una matriz es igual al de su traspuesta:

|A_4|=|A_3|=80

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