Problema 1081

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos de la función f(x)=x^3+3x^2-2. Representar f.


Solución:

Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=3x^2+6x=0~;\\\\3x(x+2)=0

ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=-2. Dados estos puntos críticos y dado que el dominio de f es \mathbb R, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-2)&(-2,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en (-\infty,-2)\cup(0,+\infty)
  • f decrece en (-2,0)
  • f presenta un máximo en (-2,f(-2))=(-2,2)
  • f presenta un mínimo en (0,f(0))=(0,-2)

Sabemos que las funciones polinómicas no tienen asíntotas, f diverge a +∞ cuando x tiende a +∞, y diverge a -∞ cuando x tiende a -∞.
Con los datos anteriores podemos hacer un esbozo de la gráfica semejante a la siguiente figura:

p1081

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