Problema 1082

Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat II, ,

Calcular \displaystyle\int\dfrac{8x+7}{(x+1)(x+3)}~dx explicando el método seguido para dicho cálculo.

Solución:

Se trata de una integral racional. Descomponemos la fracción:

\dfrac{8x+7}{(x+1)(x+3)}=\dfrac A{x+1}+\dfrac B{x+3}=\dfrac{A(x+3)+B(x+1)}{(x+1)(x+3)}

de donde se obtiene:

8x+7=A(x+3)+B(x+1)

  • Para x=-1:
    -8+7=2A~;\\A=\frac{-1}2
  • Para x=-3:
    -24+7=-2B~;\\B=\frac{17}2

Luego:

\displaystyle\int\dfrac{8x+7}{(x+1)(x+3)}~dx=\int\dfrac{\frac{-1}2}{x+1}~dx+\int\dfrac{\frac{17}2}{x+3}~dx=\\\\=\boxed{\dfrac{-1}2\ln|x+1|+\dfrac{17}2\ln|x+3|+k}

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