Problema 1082

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIIntegral racional, integrales, Integrales indefinidasdurán

Calcular $\displaystyle\int\dfrac{8x+7}{(x+1)(x+3)}~dx$ explicando el método seguido para dicho cálculo.

Solución:

Se trata de una integral racional. Descomponemos la fracción:

$\dfrac{8x+7}{(x+1)(x+3)}=\dfrac A{x+1}+\dfrac B{x+3}=\dfrac{A(x+3)+B(x+1)}{(x+1)(x+3)}$

de donde se obtiene:

$8x+7=A(x+3)+B(x+1)$

Para x=-1:
$-8+7=2A~;\\A=\frac{-1}2$
Para x=-3:
$-24+7=-2B~;\\B=\frac{17}2$

Luego:

$\displaystyle\int\dfrac{8x+7}{(x+1)(x+3)}~dx=\int\dfrac{\frac{-1}2}{x+1}~dx+\int\dfrac{\frac{17}2}{x+3}~dx=\\\\=\boxed{\dfrac{-1}2\ln|x+1|+\dfrac{17}2\ln|x+3|+k}$

♦

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