Problema 1083

Los resultados obtenidos en una prueba realizada a 500 estudiantes se distribuyen normalmente con media 40 puntos y desviación típica 10 puntos.

a) ¿Qué porcentaje del alumnado tiene una puntuación entre 30 y 60 puntos?
b) ¿Cuántos estudiantes tienen una puntuación superior a 60 puntos?


Solución:

a) Para calcular la probabilidad tipificamos:

P[30<x<60]=P\left[\dfrac{30-40}{10}<z<\dfrac{60-40}{10}\right]=P[-1<z<2]=\\\\=P[z<2]-P[z<-1]=P[z<2]-(1-P[z<1])

Buscamos en la tabla de probabilidades:

P[30<x<60]=P[z<2]-(1-P[z<1])=0.9772-(1-0.8413)=0.8185

Es decir, el 81.85% del alumnado tiene una puntuación entre 30 y 60 puntos.


b) Nos piden la probabilidad P[x>60]:

P[x>60]=P\left[z>\dfrac{60-40}{10}\right]=P[z>2]=1-P[z\leq2]=\\\\=1-0.9772=0.0228

Multiplicando por la población:

0.0228\cdot 500=11.4

Es decir, 12 alumnos tiene una puntuación por encima de 60.

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