Los resultados obtenidos en una prueba realizada a 500 estudiantes se distribuyen normalmente con media 40 puntos y desviación típica 10 puntos.
a) ¿Qué porcentaje del alumnado tiene una puntuación entre 30 y 60 puntos?
b) ¿Cuántos estudiantes tienen una puntuación superior a 60 puntos?
Solución:
a) Para calcular la probabilidad tipificamos:
![P[30<x<60]=P\left[\dfrac{30-40}{10}<z<\dfrac{60-40}{10}\right]=P[-1<z<2]=\\\\=P[z<2]-P[z<-1]=P[z<2]-(1-P[z<1])](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5B30%3Cx%3C60%5D%3DP%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B30-40%7D%7B10%7D%3Cz%3C%5Cdfrac%7B60-40%7D%7B10%7D%5Cright%5D%3DP%5B-1%3Cz%3C2%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3DP%5Bz%3C2%5D-P%5Bz%3C-1%5D%3DP%5Bz%3C2%5D-%281-P%5Bz%3C1%5D%29&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "P[30<x<60]=P\left[\dfrac{30-40}{10}<z<\dfrac{60-40}{10}\right]=P[-1<z<2]=\\\\=P[z<2]-P[z<-1]=P[z<2]-(1-P[z<1])")
Buscamos en la tabla de probabilidades:
![P[30<x<60]=P[z<2]-(1-P[z<1])=0.9772-(1-0.8413)=0.8185](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5B30%3Cx%3C60%5D%3DP%5Bz%3C2%5D-%281-P%5Bz%3C1%5D%29%3D0.9772-%281-0.8413%29%3D0.8185&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "P[30<x<60]=P[z<2]-(1-P[z<1])=0.9772-(1-0.8413)=0.8185")
Es decir, el 81.85% del alumnado tiene una puntuación entre 30 y 60 puntos.
b) Nos piden la probabilidad ![P[x>60]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5Bx%3E60%5D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "P[x>60]")
![P[x>60]=P\left[z>\dfrac{60-40}{10}\right]=P[z>2]=1-P[z\leq2]=\\\\=1-0.9772=0.0228](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5Bx%3E60%5D%3DP%5Cleft%5Bz%3E%5Cdfrac%7B60-40%7D%7B10%7D%5Cright%5D%3DP%5Bz%3E2%5D%3D1-P%5Bz%5Cleq2%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3D1-0.9772%3D0.0228&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "P[x>60]=P\left[z>\dfrac{60-40}{10}\right]=P[z>2]=1-P[z\leq2]=\\\\=1-0.9772=0.0228")
Multiplicando por la población:
Es decir, 12 alumnos tiene una puntuación por encima de 60.
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