Problema 1084

Calcula el rango de la siguiente matriz según los valores de a:

A=\begin{pmatrix}1&0&4&2\\0&a&4&0\\-1&3&a&-2\end{pmatrix}


Solución:

Observamos que la cuarta columna es proporcional a la primera, y por ello:

\text{rg}(A)=\text{rg}\begin{pmatrix}1&0&4\\0&a&4\\-1&3&a\end{pmatrix}

Utilizamos determinantes para calcular el rango de esta matriz:

\begin{vmatrix}1&0&4\\0&a&4\\-1&3&a\end{vmatrix}=a^2+4a-12=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son a=2 y a=-6, luego:

  • Si a≠2 y a≠-6, entonces rg(A)=3.
  • Si a=2, entonces \text{rg}\begin{pmatrix}1&0&4\\0&2&4\\-1&3&2\end{pmatrix}=2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\0&2\end{vmatrix}=2\neq0, y tenemos que rg(A)=2.
  • Si a=-6, entonces \text{rg}\begin{pmatrix}1&0&4\\0&-6&4\\-1&3&-6\end{pmatrix}=2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\0&-6\end{vmatrix}=-6\neq0, y rg(A)=2.

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