Problema 1085

Dados los puntos A(3,3,3), B(2,3,4), C(0,0,4) y D(3,0,1).

a) ¿Están en el mismo plano? En caso afirmativo hallar la ecuación del plano. En caso negativo razonar la respuesta.
b) Calcular a para que el punto P(a,a,8) esté en la recta que pasa por los puntos A y C.


Solución:

a) Los cuatro puntos son coplanarios si los vectores \overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC},~\overrightarrow{AD} también lo son.
Los vectores \overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC},~\overrightarrow{AD} son coplanarios si rg\begin{pmatrix}\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{AC}\\\overrightarrow{AD}\end{pmatrix}=2.

\overrightarrow{AB}=(2,3,4)-(3,3,3)=(-1,0,1)\\\overrightarrow{AC}=(0,0,4)-(3,3,3)=(-3,-3,1)\\\overrightarrow{AD}=(3,0,1)-(3,3,3)=(0,-3,-2)

Calculamos el rango de la matriz \begin{pmatrix}\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{AC}\\\overrightarrow{AD}\end{pmatrix} utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}-1&0&1\\-3&-3&1\\0&-3&-2\end{vmatrix}=-6+9-3=0

El rango no es 3, veamos si es 2

\begin{vmatrix}-1&0\\-3&-3\end{vmatrix}=3\neq0

Luego, el rango es 2 y los cuatro puntos son coplanarios.


b) El punto P está en la recta que pasa por los puntos A y C si los vectores \overrightarrow{AP}\text{ y }\overrightarrow{AC} son paralelos.

\overrightarrow{AP}=(a,a,8)-(3,3,3)=(a-3,a-3,5)\\\overrightarrow{AC}=(-3,-3,1)

Aplicamos la condición de paralelismo a estos dos vectores:

\dfrac{a-3}{-3}=\dfrac{a-3}{-3}=\dfrac51

de donde resulta

a-3=-15~;\\a=-12

Luego, el punto P pertenece a la recta que pasa por A y C si a=-12.

PV-MII-O-18-2A

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s