Problema 1086

Sea f la función definida por:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}3-ax^2&\text{si}&x\leq1\\\frac2{ax}&\text{si}&x>1\end{array}\right.

Estudiar su continuidad y su derivabilidad en función de a.


Solución:

La función parcial y=3-ax^2 es polinómica cuyo dominio es todo \mathbb R, siendo continua y derivable en particular para x<1. La función parcial y=\frac2{ax} es una función de proporcionalidad inversa cuyo dominio es \mathbb R\setminus\{0\} siendo continua y derivable para x>1.
Resta estudiar la continuidad y derivabilidad de f  en x=1. Comenzamos estudiando su continuidad:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac2{ax}=\dfrac2a\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}3-ax^2=3-a\\\bullet~f(1)=3-a\cdot1^2=3-a

Para que f sea continua en x=1 ha de ser \frac2a=3-a. Resolvemos esta ecuación:

2=a(3-a)~;\\\\2=3a-a^2~;\\\\a^2-3a+2=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son a=2 y a=1. Luego.

  • Si a≠2 y a≠1, entonces f no es continua en x=1 y tampoco es derivable.

Estudiamos la derivabilidad de f en x=1:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-2ax&\text{si}&x<1\\\frac{-2}{ax^2}&\text{si}&x>1\end{array}\right.

\displaystyle\bullet~f'(1^+)=\lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac{-2}{ax^2}=\dfrac{-2}a\\\bullet~f'(1^-)=\lim_{x\rightarrow1^-}-2ax=-2a

Igualamos estos resultados y resolvemos:

-2=-2a^2~;\\\\a^2=1~;\\\\a=\pm1

Para que f fuera derivable en x=1 el valor de a tendría que ser 1 o -1, luego:

  • Si a=2, f es continua en x=1 pero no sería derivable.
  • Si a=1, f es continua en x=1 y es derivable.

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