Sea f la función definida por:
Estudiar su continuidad y su derivabilidad en función de a.
Solución:
La función parcial es polinómica cuyo dominio es todo
, siendo continua y derivable en particular para x<1. La función parcial
es una función de proporcionalidad inversa cuyo dominio es
siendo continua y derivable para x>1.
Resta estudiar la continuidad y derivabilidad de f en x=1. Comenzamos estudiando su continuidad:
Para que f sea continua en x=1 ha de ser . Resolvemos esta ecuación:
Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son a=2 y a=1. Luego.
- Si a≠2 y a≠1, entonces f no es continua en x=1 y tampoco es derivable.
Estudiamos la derivabilidad de f en x=1:
Igualamos estos resultados y resolvemos:
Para que f fuera derivable en x=1 el valor de a tendría que ser 1 o -1, luego:
- Si a=2, f es continua en x=1 pero no sería derivable.
- Si a=1, f es continua en x=1 y es derivable.
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