Problema 1087

Calcular la siguiente integral indefinida:

\displaystyle\int\dfrac{2x-1}{x(x+1)^2}~dx


Solución:

Se trata de una integral racional. Comenzamos descomponiendo la fracción:

\dfrac{2x-1}{x(x+1)^2}=\dfrac Ax+\dfrac B{x+1}+\dfrac C{(x+1)^2}~;\\\\\dfrac{2x-1}{x(x+1)^2}=\dfrac{A(x+1)^2+B(x(x+1))+Cx}{x(x+1)^2}

de donde obtenemos la ecuación:

2x-1=A(x+1)^2+B(x(x+1))+Cx

Probando con distintos valores de x obtenemos las siguientes ecuaciones:

  • Si x=0:
    -1=A
  • Si x=-1:
    -3=-C
  • Si x=1:
    1=4A+2B+C

De estas tres ecuaciones tenemos que A=-1, C=3 y B=1. Por tanto:

\displaystyle\int\dfrac{2x-1}{x(x+1)^2}~dx=\int\dfrac{-1}x~dx+\int\dfrac1{x+1}~dx+\int\dfrac3{(x+1)^2}~dx=*

Las dos primeras integrales son logarítmicas y la tercera integral es potencial (recordar la tabla de integrales):

*=\boxed{-\ln|x|+\ln|x+1|-\dfrac3{x+1}+k}


La tercera integral paso a paso:

\displaystyle\int\dfrac3{(x+1)^2}~dx=\int3(x+1)^{-2}~dx=3\cdot\dfrac{(x+1)^{-1}}{-1}=\dfrac{-3}{x+1}

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