Problema 1087

Calcular la siguiente integral indefinida:

$\displaystyle\int\dfrac{2x-1}{x(x+1)^2}~dx$

Solución:

Se trata de una integral racional. Comenzamos descomponiendo la fracción:

$\dfrac{2x-1}{x(x+1)^2}=\dfrac Ax+\dfrac B{x+1}+\dfrac C{(x+1)^2}~;\\\\\dfrac{2x-1}{x(x+1)^2}=\dfrac{A(x+1)^2+B(x(x+1))+Cx}{x(x+1)^2}$

de donde obtenemos la ecuación:

$2x-1=A(x+1)^2+B(x(x+1))+Cx$

Probando con distintos valores de x obtenemos las siguientes ecuaciones:

De estas tres ecuaciones tenemos que A=-1, C=3 y B=1. Por tanto:

$\displaystyle\int\dfrac{2x-1}{x(x+1)^2}~dx=\int\dfrac{-1}x~dx+\int\dfrac1{x+1}~dx+\int\dfrac3{(x+1)^2}~dx=*$

Las dos primeras integrales son logarítmicas y la tercera integral es potencial (recordar la tabla de integrales):

$*=\boxed{-\ln|x|+\ln|x+1|-\dfrac3{x+1}+k}$

La tercera integral paso a paso:

$\displaystyle\int\dfrac3{(x+1)^2}~dx=\int3(x+1)^{-2}~dx=3\cdot\dfrac{(x+1)^{-1}}{-1}=\dfrac{-3}{x+1}$

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