Problema 1088

De todos los número positivos x e y tales que x+y=10 encontrar aquellos para los que el producto P=x^2y sea máximo.


Solución:

De la restricción x+y=10 despejamos y:

y=10-x

Sustituimos en la función que pretendemos optimizar:

P(x)=x^2\cdot(10-x)~;\\\\P(x)=10x^2-x^3

Calculamos los puntos críticos de esta función:

P'(x)=20x-3x^2=0~;\\\\x(20-3x)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0,~x=\frac{20}3.
Utilizamos el test de la derivada segunda para saber cuál de los dos puntos críticos corresponde a un máximo:

P''(x)=20-6x~;\\\\\bullet~P''(0)=20>0\\\bullet~P''(\frac{20}3)=20-40=-20<0

Según el test, la función P alcanza un máximo para \boxed{x=\frac{20}3}. El valor de y es:

y=10-\dfrac{20}3~;\\\\\boxed{y=\dfrac{10}3}

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