Problema 1089

Dado el siguiente sistema de ecuaciones S(a)

S(a)=\left\{\begin{array}{rl}x+2y-z&=2\\x+(a+1)y-az&=2a\\x+ay+(a+1)z&=1\end{array}\right.

a) Discutirlo según los distintos valores de a.
b) ¿Hay solución para a=2? En caso afirmativo calcular dicha solución. En caso negativo razonar la respuesta.


Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&2&-1\\1&a+1&-a\\1&a&a+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2a\\1\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&2&-1\\1&a+1&-a\\1&a&a+1\end{vmatrix}=(a+1)^2-2a-a+(a+1)-2(a+1)+a^2=\\\\=a^2+2a+1-3a-(a+1)+a^2=2a^2-2a=\\\\=2a(a-1)=0

Determinante que se anula para a=0 y a=1. Luego:

  • Si a≠0 y a≠1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=0, entonces M=\begin{pmatrix}1&2&-1\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}2&-1&2\\1&0&0\\0&1&1\end{vmatrix}=2+1=3\neq0
    Luego rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.
  • Si a=1, entonces M=\begin{pmatrix}1&2&-1\\1&2&-1\\1&1&2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}=1-2=-1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&2&2\\1&2&2\\1&1&1\end{vmatrix}=0
    Luego rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.

b) Para a=2, como se dijo en el apartado a), el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}2&2&-1\\4&3&-2\\1&2&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&-1\\1&3&-2\\1&2&3\end{vmatrix}}=\dfrac{18-4-8+3-24+8}{2\cdot2\cdot(2-1)}=\dfrac{-7}4

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&2&-1\\1&4&-2\\1&1&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&-1\\1&3&-2\\1&2&3\end{vmatrix}}=\dfrac{12-4-1+4-6+2}4=\dfrac74

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&2&2\\1&3&4\\1&2&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&-1\\1&3&-2\\1&2&3\end{vmatrix}}=\dfrac{3+8+4-6-2-8}4=\dfrac{-1}4

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s