Problema 1091

Dada la función f(x)=\dfrac{x^2-3}{x^2-4}, se pide:

a) Hallar las asíntotas de f.
b) Hallar los intervalos donde es creciente y donde es decreciente.
c) ¿Tiene extremos la función f?. En caso afirmativo ¿en que puntos?


Solución:

a) El dominio de esta función racional es el conjunto de todos los número reales excepto aquellos que anulan el denominador:

x^2-4=0~;\\x=\pm2

Luego Dom(f)=\mathbb R\setminus\{2,-2\}.

  • Asíntotas verticales:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow2^+}\dfrac{x^2-3}{x^2-4}=\dfrac1{0^+}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow2^-}\dfrac{x^2-3}{x^2-4}=\dfrac1{0^-}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-2^-}\dfrac{x^2-3}{x^2-4}=\dfrac1{0^+}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-2^+}\dfrac{x^2-3}{x^2-4}=\dfrac1{0^-}=-\infty
    Tiene dos asíntotas verticales de ecuaciones x=2 y x=-2.
  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-3}{x^2-4}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2}{x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}1=1\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2-3}{x^2-4}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{(-x)^2-3}{(-x)^2-4}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-3}{x^2-4}=1
    Tiene asíntota horizontal de ecuación y=1.
  • No tiene asíntota oblicua.

b) Nos piden estudiar la monotonía de f. Comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{2x(x^2-4)-(x^2-3)2x}{(x^2-4)^2}=\dfrac{2x(-1)}{(x^2-4)^2}=\dfrac{-2x}{(x^2-4)^2}=0~;\\\\-2x=0

ecuación cuya solución es x=0.
Con este punto crítico y teniendo en cuenta el dominio de f, estudiamos su monotonía en la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-2)&(-2,0)&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&+&-&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • Crece en (-\infty,-2)\cup(-2,0)
  • Decrece en (0,2)\cup(2,+\infty)

c) Según la tabla de monotonía, observamos un máximo en el punto (0,f(0))=(0,\frac{-3}4).

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