Problema 1092

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II, , ,

Representar el recinto del plano limitado por las curvas y=e^x,~y=e^{-x} y por la recta x=1. Calcular su área.

Solución:

La función elemental y=e^x es exponencial. Creciente en todo \mathbb R que pasa por (0,1) y tiene asíntota horizontal y=0 cuando x→-∞.
La función y=e^{-x} es la simétrica de y=e^x con respecto al eje y.
La función x=1 es una recta vertical que pasa por el punto (1,0).

p1092

Es claro que las dos exponenciales se cortan en x=0.

El área S encerrada por estas funciones es:

\displaystyle S=\int_0^1e^x-e^{-x}~dx=\Big[e^x+e^{-x}\Big]_0^1=\\\\=(e^1+e^{-1})-(e^0+e^{-0})=\\\\=(e+\frac1e)-(1+1)=\dfrac{e^2+1-2e}e=\boxed{\dfrac{(e-1)^2}e\text{ u.a.}}

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