Problema 1094

Determinar el rango de la matriz A(a) según los valores de a.

A(a)=\begin{pmatrix}1&1&a+1&1\\a&0&0&2\\0&a&2&0\end{pmatrix}


Solución:

Calculamos el rango de esta matriz utilizando determinantes. Comenzamos con las columnas 1, 2 y 4:

\begin{vmatrix}1&1&1\\a&0&2\\0&a&0\end{vmatrix}=a^2-2a=a(a-2)

determinante que se anula con a=0 y a=2, luego:

  • Si a≠0 y a≠2, el rango de A es 3.
  • Si a=0 tenemos A(0)=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&0&0&2\\0&1&2&0\end{pmatrix}. Veamos su rango calculando el determinante formado por las columnas 2, 3 y 4.
    \begin{vmatrix}1&1&1\\0&0&2\\1&2&0\end{vmatrix}=2-4=-2\neq0
    Luego el rango de A es 3.
  • Si a=2, tenemos la matriz A(2)=\begin{pmatrix}1&1&3&1\\2&0&0&2\\0&2&2&0\end{pmatrix}. Calculamos el determinante de la matriz formada por las columnas 2, 3 y 4.
    \begin{vmatrix}1&3&1\\0&0&2\\2&2&0\end{vmatrix}=12-4=8\neq0
    Y el rango también es 3.

Luego, el rango de A es 3 independientemente del valor de a.

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